Maestría en Matemática
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DocumentoEstimación y predicción del modelo ARCH para la volatilidad a través de embebimientos de distribuciones de probabilidad en espacios de Hilbert con kernel reproductivo(Universidad Tecnológica de Pereira, 2023)Este documento pretende dar una revisión a la teoría de los embebimientos de distribuciones de probabilidad en un RKHS y los avances relacionados con ellos, se contextualizan y aplican a la estimación y la predicción de la volatilidad con el modelo ARCH con ecuaciones de Yule Walker y el método de la preimagen, en este orden de ideas, se propone un operador, que enfocado en la traza de la matriz kernel permite optimizar capacidad computacional además de disminuir el ruido generado por la simetría del kernel. Se comparan los resultados de los experimentos con el error medio cuadrático, respecto al cual se concluye que el modelo ARCH embebido en el espacio de Hilbert tiene mejores resultados que el método de máxima verosimilitud y que el operador de traza propuesto en combinación con el kernel T-Student,presenta mejores resultados que el de distribuciones de probabilidad empíricas.
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DocumentoFunción período en el modelo de la perla(Universidad Tecnológica de Pereira, 2023)En este trabajo se hace un estudio de la Funcion Per  Âıodo del problema θ ′′ + h(θ) = 0 con h(θ) = sen θ(1 − k cos θ), el cual consiste en encontrar una formula que de-  termine el perÂıodo del modelo de la perla para los distintos valores de 0 < k < 1 de forma analÂıtica y numÂerica, esto con la ayuda de software como matematica  y matlab. Se hace una clasificacion de las soluciones de equilibrio en el modelo  de la perla en el caso conservativo y disipativo; ademas, se determina el dia-  grama de bifurcacion en estos casos. Tambi  Âen se extienden los resultados de [Dutta and Ray, 2011], en especial la clasificacion de los puntos de equilibrio  en el caso disipativo, los diagramas de bifurcacion y los teoremas de monoton  Âıa de la funcion per  Âıodo en los casos 0 < k < 1 y 1 < k < 1. Por ultimo, se hace  una conjetura sobre el perÂıodo de este problema para el caso k > 1. 4 4
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DocumentoSobre una conjetura de de Giorgi y algunas variantes(Universidad Tecnológica de Pereira, 2022)Este trabajo presenta el problema en Ecuaciones Diferenciales Parciales denominado conjetura de De Giorgi, el cual pregunta sobre la clasificaci´on de las soluciones globales de la ecuaci´on ∆u = u 3 − u teniendo en cuenta que u ∈ C 2 (R n ), |u| ≤ 1, ∂nu > 0, la conjetura afirma que los conjuntos de nivel de la soluci´on llamada u para n = 2 son l´ıneas rectas, para 3 ≤ n ≤ 8 son hiperplanos. Este problema est´a probado para n = 2, 3, utilizando teoremas de regularidad el´ıptica, minimalidad local y teorema de tipo de Liouville (1997,[17]). Para los resultados parciales con n = 4 se hace mucho ´enfasis en la simetr´ıa de la soluci´on. En las conclusiones obtenidas hasta el momento para 4 ≤ n ≤ 8 se usa fuertemente la Γ-convergencia, la idea es obtener una funci´on que converge en L 1 loc a la funci´on caracter´ıstica y que sea ortogonal a un vector unitario a. Como es bien sabido, a´un no se tiene una demostraci´on para 4 ≤ n ≤ 8, sin embargo, si existen contraejemplos para n ≥ 9. Posteriormente, se hace menci´on de algunos trabajos que datan de algunas variantes que ha tenido la conjetura. Inicialmente entre las variantes est´a la soluci´on de la conjetura con hip´otesis adicionales sobre los l´ımites en la direcci´on mon´otona, luego el an´alisis de los minimizadores globales, la estabilidad de las soluciones en la conjetura, los extremos de las soluciones que son finitas y el ´ındice de Morse par para n = 2 y un avance para n = 3, la conjetura fraccionaria de De Giorgi; para esta variante se usa el laplaciano fraccionario y para terminar, se muestran avances de la conjetura de De Giorgi para la ecuaci´on de Caffarelli-Berestycki-Nirenberg y la ecuaci´on de Lane-Emden teniendo en cuenta los exponente de Sobolev y Joseph-Lundgren.
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DocumentoComparación entre el teorema clásico de los ceros de Hilbert y el teorema de los ceros Hilbert sobre MV -álgebras(Universidad Tecnológica de Pereira, 2022)En este trabajo de grado se demuestra de manera explícita el teorema de los ceros de hilbert (nullstellensatz) en el contexto clásico de las curvas algebraicas y en el contexto de las álgebras multivaluadas, enunciado por dubuc y zilber. También se exponen algunas propiedades topológicas para espacios de funciones y la topología espectral asociada al conjunto de ideales maximales. Finalmente, se mostraron algunas clases de mv-álgebras e ideales y relaciones entre ellos.
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DocumentoAplicación del método de darboux en el análisis de integralidad de un sistema diferencial de tipo lotka-volterra(Universidad Tecnológica de Pereira, 2021)In this work we study the existence problem of the first integral for systems of differential equations of the form x˙ = f1(x, y, z) y˙ = f2(x, y, z) z˙ = f3(x, y, z), where f1, f2, f3 are polynomial functions. A method is applied to find integrability conditions at the origin; this method is known as the Darboux integrability method, which uses invariant algebraic curves in the construction of a first integral. As an application of this method we consider a Lotka-Volterra type differential system whose equations are given by: x˙ = −x(x + αy + βz) = P(x, y, z) y˙ = −y(βx + y + αz) = Q(x, y, z) z˙ = −z(αx + βy + z) = R(x, y, z), where α, β ∈ R and x, y, z represents the species interaction.